🐆 Sebuah Kotak Panjangnya 1 1 2

Pertemuan 14 Kombinatorial 1 Pendahuluan Sebuah kata-sandi password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan kata-sandi yang dapat dibuat? abcdef aaaade a123fr … erhtgahn yutresik … ???? 2 Definisi Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. 3 Kaidah Dasar Menghitung • Kaidah perkalian rule of product Percobaan 1 p hasil Percobaan 2 q hasil Percobaan 1 dan percobaan 2 p  q hasil • Kaidah penjumlahan rule of sum Percobaan 1 p hasil Percobaan 2 q hasil Percobaan 1 atau percobaan 2 p + q hasil 4 Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg pi hasil 1. Kaidah perkalian rule of product p1  p2  …  pn hasil 2. Kaidah penjumlahan rule of sum p1 + p2 + … + pn hasil 5 • Contoh 3. Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika a panjang string 5 bit b panjang string 8 bit = 1 byte Penyelesaian a 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah b 28 = 256 buah 6 Contoh. Kata-sandi password sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak kata-sandi yang dapat dibuat? Penyelesaian Jumlah karakter password = 26 A-Z + 10 0-9 = 36 karakter. Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 363636363636 = 366 = 6 karakter Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 7 karakter 36363636363636 = 367 = umlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 8 karakter 3636363636363636 = 368 = Jumlah seluruh kata-sandi kaidah penjumlahan adalah + + = buah. 7 Latihan 1. Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka dengan setiap angka berbeda? 2. Dari buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5? 8 3. Tersedia 6 huruf a, b, c, d, e, f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika a tidak ada huruf yang diulang; b boleh ada huruf yang berulang; c tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf e harus ada; d boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada 4. Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang mahasiswa Jurusan Teknik Informatika IF, 4 orang mahasiswa Teknik Kimia TK, 4 orang mahasiswa Teknik Geologi GL, dan 2 orang mahasiswa Farmasi FA dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang sama duduk berdampingan? 9 Prinsip Inklusi-Eksklusi Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan „11‟ atau berakhir dengan „11‟? Penyelesaian Misalkan A = himpunan byte yang dimulai dengan „11‟, B = himpunan byte yang diakhiri dengan „11‟ A  B = himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan „11‟ maka A  B = himpunan byte yang berawal dengan „11‟ atau berakhir dengan „11‟ A = 26 = 64, B = 26 = 64, A  B = 24 = 16. maka A  B = A + B – A  B = 26 + 26 – 16 = 64 + 64 – 16 = 112. 10 Permutasi Bola m b p Kotak 1 2 3 Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? 11 Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Urutan b p mbp p b mpb m p bmp p m bpm m b pmb b m pbm m b p Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah 321 = 3! = 6. 12 Definisi Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objekobjek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka  urutan pertama dipilih dari n objek,  urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,  urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, …  urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah nn – 1 n – 2 … 21 = n! 13 Contoh Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian Cara 1 54321 = 120 buah kata Cara 2 P5, 5 = 5! = 120 buah kata Contoh Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian P25, 25 = 25! 14 Permutasi r dari n elemen • Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. Masingmasing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Bola m b p h k j Kotak Penyelesaian1 2 3 kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola ada 6 pilihan; kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola ada 5 pilihan; kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola ada 4 pilihan. Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = 654 = 120 15 Perampatan Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak r  n, maka kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola  ada n pilihan ; kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari n – 1 bola  ada n – 1 pilihan; kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari n – 2 bola  ada n – 2 pilihan; … kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari n – r – 1 bola  ada n – r + 1 pilihan Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah nn – 1n – 2…n – r – 1 16 Definisi Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r  n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama. n! Pn, r  nn  1n  2...n  r  1 = n  r ! 17 Contoh Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut 1, 2, 3, 4 , 5, jika a tidak boleh ada pengulangan angka, dan b boleh ada pengulangan angka. Penyelesaian a Dengan kaidah perkalian 543 = 120 buah Dengan rumus permutasi P5, 3 = 5!/5 – 3! = 120 b Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian 555 = 53 = 125. Contoh Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian P26, 4  P10,3 = 18 Latihan 1. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk. Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika diandaikan satu orang harus duduk di kursi sopir? 19 Kombinasi • Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. • Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak = 3! P 3,2 P 3,2 1! 32    = 3. 2 2! 2! 2 20 a b 1 2 3 sama b a 1 2 3 1 a 2 b 3 hanya 3 cara sama 1 b 2 a 1 a 3 b 2 3 sama b a 21 1 2 3  Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah 10! P10,3 7! 1098   3! 3! 3! karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.  Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah n n  1n  2...n  r  1 n! n  r! r! n  r ! = Cn, r atau   r 22 • Cn, r sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek. • Definisi 3. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau Cn, r, adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. 23 Interpretasi Kombinasi 1. Cn, r = banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Misalkan A = {1, 2, 3} Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} {2, 3} = {3, 2} 3 buah  3 3! 3!   3 buah atau     2  3  2!2! 1!2! 24 2. Cn, r = cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting. Contoh Berapa banyak cara membentuk panitia komite, komisi, dsb yang beranggotakan 5 orang orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang? Penyelesaian Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya. Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C25,5 = 53130 cara. 25 Contoh 9. Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga a mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; b mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; c mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; d mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; e mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; f setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya. 26 Penyelesaian a C9, 4 = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya. b C9, 5 = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya. c C8, 4 = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak. d C8, 4 = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A tidak. e C8, 3 = 56 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya. 27 f Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya = jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya, A tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya = 70 + 70 + 56 = 196 Prinsip inklusi-eksklusi X = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B X  Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A dan B, maka X = C9, 4 = 126; Y = C9, 4 = 126;  X  Y = C8, 3 = 56; X  Y = X + Y - X  Y = 126 + 126 – 56 = 196 28 Latihan 1. Kursi-kursi di sebuah bioskop disusun dalam baris-baris, satu baris berisi 10 buah kursi. Berapa banyak cara mendudukkan 6 orang penonton pada satu baris kursi a jika bioskop dalam keadaan terang b jika bioskop dalam keadaan gelap 29 2. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika a tidak ada batasan jurusan b semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika c semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika d semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama e 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili. 30 3. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? 31 Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misalkan ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable. n1 bola diantaranya berwarna 1, n2 bola diantaranya berwarna 2,  nk bola diantaranya berwarna k, dan n1 + n2 + … + nk = n. Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut tiap kotak maks. 1 buah bola? 32 Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah Pn, n = n!. Dari pengaturan n buah bola itu, ada n1! cara memasukkan bola berwarna 1 ada n2! cara memasukkan bola berwarna 2 ada nk! cara memasukkan bola berwarna k Permutasi n buah bola yang mana n1 diantaranya berwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah P n, n n! P n; n1 , n2 ,..., nk   n1! n2 !...nk ! n1! n2 !...nk ! 33 Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah Cn; n1, n2, …, nk = Cn, n1 Cn – n1, n2 Cn – n1 – n2 , n3 … Cn – n1 – n2 – … – nk-1, nk n! n  n1 ! = n1!n  n1 ! n2 !n  n1  n2 ! n  n1  n2 ! n3!n  n1  n2  nk ! n  n1  n2  ...  nk 1 ! … nk !n  n1  n2  ...  nk 1  nk ! n! = n1!n2 !n3!...nk 34 Kesimpulan n! P n; n1 , n2 ,..., nk  C n; n1 , n2 ,..., nk  n1! n2 !...nk ! 35 Contoh 10. Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesaian S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I} huruf M = 1 buah n1 huruf I = 4 buah n2 huruf S = 4 buah n3 huruf P = 2 buah n4 n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = S Cara 1 Jumlah string = P11; 1, 4, 4, 2 11! = 1! 4! 4! 2!  34650 buah. Cara 2 Jumlah string = C11, 1C10, 4C6, 4C2, 2 11! 10! 6! 2! = 1!10! . 4! 6! . 4! 2! . 2! 0! 11! = 1! 4! 4! 2! = 34650 buah 36 Contoh 11. Berapa banyak cara membagikan delapan buah mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat empat buah mangga, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah mangga. Penyelesaian n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8 8!  420 cara Jumlah cara membagi seluruh mangga = 4! 2! 2! 37 Contoh 12. 12 buah lampu berwarna 4 merah, 3 putih, dan 5 biru dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong. Berapa jumlah cara pengaturan lampu? Penyelesaian n = 18; n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, dan n4 = 6 socket kosong 18! Jumlah cara pengaturan lampu = cara 4!3!5!6! 38 Latihan 1. 100 orang mahasiswa dikirim ke 5 negara, masing-masing negara 20 orang mahasiswa. Berapa banyak cara pengiriman mahasiswa? 2. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “CONGRESS” sedemikian sehingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan? 39 3. Tentukan banyaknya cara agar 4 buku matematika, 3 buku sejarah, 3 buku kimia, dan 2 buku sosiologi dapat disusun dalam satu baris sedemikian sehingga untuk masing-masing soal a semua buku yang topiknya sama letaknya bersebelahan, b urutan buku dalam susunan bebas. 40 Kombinasi Dengan Pengulangan Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak. i Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Jumlah cara memasukkan bola Cn, r. ii Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola tidak ada pembatasan jumlah bola Jumlah cara memasukkan bola Cn + r – 1, r. Cn + r – 1, r = Cn + r –1, n – 1. 41 Contoh 13. Pada persamaan x1 + x2 + x3 + x4 = 12, xi adalah bilangan bulat  0. Berapa jumlah kemungkinan solusinya? Penyelesaian  Analogi 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4 buah kotak dalam hal ini, n = 4 dan r = 12.  Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalnya, Kotak 1 diisi 3 buah bola x1 = 3 Kotak 2 diisi 5 buah bola x2 = 5 Kotak 3 diisi 2 buah bola x3 = 2 Kotak 4 diisi 2 buah bola x4 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12 Ada C4 + 12 – 1, 12 = C15, 12 = 455 buah solusi. 42 Contoh 14. 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan? Penyelesaian n = 5, r1 = 20 apel dan r2 = 15 jeruk Membagi 20 apel kepada 5 anak C5 + 20 – 1, 20 cara, Membagi 15 jeruk kepada 5 anak C5 + 15 – 1, 15 cara. Jumlah cara pembagian kedua buah itu adalah C5 + 20 – 1, 20  C5 + 15 – 1, 15 = C24, 20  C19, 15 43 Latihan 1. Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa banyak cara pemberian nilai bilangan bulat pada setiap soal jika jumlah nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling sedikit 5. Khusus untuk soal ini, nyatakan jawaban akhir anda dalam Ca, b saja, tidak perlu dihitung nilainya 2. 3. Di perpustakaan Teknik Informatika terdapat 3 jenis buku buku Algoritma dan Pemrograman, buku Matematika Diskrit, dan buku Basisdata. Perpustakaan memiliki paling sedikit 10 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 10 buah buku? Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dan 500-an, berapa banyak cara lima koin dapat diambil? 44 Koefisien Binomial x + y0 = 1 x + y1 = x + y x + y2 = x2 + 2xy + y2 x + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 x + y4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 x + y5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 1 4 10 5 1 1 n-1 1 n-k k x + yn = Cn, 0 xn + Cn, 1 x y + … + Cn, k x y +…+ n Cn, n yn =  C n, k xn-k yk k 0 Koefisien untuk xn-kyk adalah Cn, k. Bilangan Cn, k disebut koefisien binomial. 45 Segitiga Pascal 46 47 Contoh 15. Jabarkan 3x - 23. Penyelesaian Misalkan a = 3x dan b = -2, a + b3 = C3, 0 a3 + C3, 1 a2b1 + C3, 2 a1b2 + C3, 3 b3 = 1 3x3 + 3 3x2 -2 + 3 3x -22 + 1 -23 = 27 x3 – 54x2 + 36x – 8 48 Contoh 16. Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan x - y5. Penyelesaian x - y5 = x + -y5. Suku keempat adalah C5, 3 x5-3 -y3 = -10x2y3. n n C n , k  2 Contoh 17. Buktikan bahwa  . k 0 Penyelesaian Dari persamaan ambil x = y = 1, sehingga n  x + yn =  C n, k xn-k yk k 0 n n C n, k 1n-k 1k =  C n, k  1 + 1n =  k 0 k 0 n C n, k  2n =  k 0 49 Latihan Perlihatkan bahwa  2k Cn, k = 3n k=0 50 Pigeonhole Principle • Pigeonhole principle = prinsip sarang burung merpati 51 • Prinsip Sarang Merpati. Jika n + 1 atau lebih objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek. Bukti Misalkan tidak ada kotak yang berisi dua atau lebih objek. Maka, total jumlah objek paling banyak adalah n. Ini kontradiksi, karena jumlah objek paling sedikit n + 1. Gambar Kandang merpati dengan 14 buah sarang pigeonhole dan 16 ekor merpati. 52 • Prinsip sarang merpati, jika diterapkan dengan baik, akan memberikan hanya objek-objek yang ada, dan bukan memberitahukan bagaimana mencari objek tersebut dan berapa banyak. • Pada masalah sarang burung merpati, prinsip ini tidak memberitahukan di sarang merpati mana yang berisi lebih dari dua ekor merpati. 53 Contoh 17. Dari 27 orang mahasiswa, paling sedikit terdapat dua orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama, karena hanya ada 26 huruf dalam alfabet. Jika kita menganggap 27 huruf awal dari nama-nama mahasiswa sebagai merpati dan 26 huruf alfabet sebagai 26 buah lubang merpati, kita bisa menetapkan pemasangan 27 huruf awal nama ke 26 huruf alfabet seperti halnya pemasangan merpati ke sarang merpati. Menurut prinsip sarang merpati, beberapa huruf awal alfabet dipasangkan dengan paling sedikit dua huruf awal nama mahasiswa. 54 Contoh 18. Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak tanpa melihat ke dalam kotak untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil? Penyelesaian Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola merpati, maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi, 4 buah bola adalah jumlah minumum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama. 55 Prinsip Sarang Merpati yang Dirampatkan. Jika M objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi minimal M/n objek. • Contoh 19. Di antara 50 orang mahasiswa, terdapat paling sedikit 50/12 = 5 orang yang lahir pada bulan yang sama. 56 •Contoh 20. Tinjau kembali Contoh 18. Berapa paling sedikit jumlah bola yang harus diambil dari dalam kotak sehingga 3 pasang bola yang setiap pasangnya berwarna sama terambil? Penyelesaian Tiga pasang bola yang setiap pasang berwarna sama berarti semuanya 6 buah bola. Pada masalah ini, n masih tetap sama dengan 3 yaitu jumlah warna, dan kita perlu mengambil paling sedikit M buah bola untuk memastikan bahwa M/3 = 6 bola mengandung setiap pasang bola yang berwarna sama. Nilai M = 3  5 + 1 = 16. Jika kita hanya mengambil 15 bola, maka mungkin saja hanya terambil 2 macam bola yang berwarna sama. Jadi, jumlah 16 buah bola adalah jumlah minimal yang perlu kita ambil dari dalam kotak untuk memastikan bahwa 3 pasang bola yang setiap pasang berwarna sama terambil. 57

Sebuah kotak panjangnya 1 ½ kali lebar dan 4 ½ kali tingginya. Jumlah semua rusuk 408 cm. Tentukan volum dan luas permukaannya 7. Sebuah tangki penampungan minyak tanah berbentuk prisma yang alasnya berupa belah ketupat yang panjang diagonal-diagonalnya 4 m dan 3 m. Tinggi tangki 2,5 m.

niesrinaasmadina Verified answer P= 1 1/2 x l = 4 1/2 x tpl = 1 1/2 1 x 6 = 9 6pt = 4 1/2 1 x 2 =9 2plt = 9 6 2jumlah semua rusuk= 4 p+l+t =49a+6a+2a =417a =68a68a = 408 a=6p=9a =96 = 54 cml=6a=660=36 cmt=2a=26=12 cmV=plt = 54 x 36 x 12 = cm³L permukaan = 2pl+pt+lt =254x36 + 54x12 + 36x12 =21944 + 648 +432 =2 3024 = cm² Flawlyara Verified answer Mapel MatematikaBab Bangun Ruangp = 1 1/2 l = 3/2 lp l = 3 2p = 4 1/2 t = 9/2 tp t = 9 2p l t9 6 2Jumlah Rusuk= 4p + l + t= 49x + 6x + 2x= 417x= 68x408 = 68xx = 6Makap = 9x = 96 = 54 cml = 6x = 66 = 36 cmt = 2x = 26 = 12 cmVolume= p x l x t= 54 x 36 x 12= cm^3Luas Permukaan= 2pl + pt + lt= 254x36 + 54x12 + 36x12= 21944 + 648 + 432= 23024= 6048 cm^2

GEOMETRISebuah kotak panjangnya 1 1/2 kali lebar dan 4 1/2 kali tingginya. Jumlah semua rusuk 408 cm . Maka volume dan luas permukaannya bertutut-turut adalah . Penerapan Luas dan Volume Pada Bangun Ruang Sisi Datar BANGUN RUANG SISI DATAR GEOMETRI Matematika Rekomendasi video solusi lainnya 02:47

Kelas 11 SMAPolinomialTeorema FaktorPanjang sebuah kotak adalah dua kali lebarnya dan tingginya 2 cm lebih dari lebarnya. Jika volume kotak 192 cm^3, maka luas permukaannya adalah ....Teorema FaktorPolinomialALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0408Jika x^2-x-2 merupakan faktor dari polinom Px=2x^4-3x^3...0238Salah faktor dari suku banyak satu x^3+px^2-4x+16 adalah ...0130Jika polinomial fx=x^3-2x^2+px-9 mempunyai faktor x-1...0128Jika x=2 merupakan akar persamaan x^3+2x^2-5x-6=0 dan aka...Teks videoHai cover Andika menemukan soal seperti ini langkah pertama yang harus dilakukan dalam mengerti pertanyaannya panjang sebuah kotak adalah dua kali lebar dan tingginya 22 cm lebih dari lebarnya. Jika volume kotaknya 152 cm pangkat 3 ya Maka luas permukaan nya adalah pertanyaannya kita ketahui dulu untuk volume dari kotak ya. Bagaimana cara mengerjakan seperti ini ya volume dari kota adalah panjang kali lebar kali tinggi Maka dari itu untuk volume dari kotaknya menjadi panjangnya adalah disini kita ketahui panjang adalah 2 kali lebarnya 2 l kali lebar kali tinggi nya ya Di mana tingginya adalah 2 cm lebih dari lebarnya 12 M maka dari itu untuk volume dari kotaknya menjadi 2 l kuadrat kali ini 12 l, maka untuk volume kotak nya menjadi 4 l kuadrat + 2pangkat 3 seperti ini ya Di mana ini nilainya = 19 2y = 2 x pangkat 3 ditambah 4 kuadrat maka disini kita bisa buat ini ya adalah 20 ^ 3 + 4 X kuadrat dikurangi 192 maka kita mencari nilai dari jawabannya ya caranya seperti ini kita keluarkan duanya dulu ini menjadi r ^ 3 + 2 x kuadrat kurangi adalah 96, maka langkah berikutnya adalah kita mau buat jadi seperti ini ya ini 0 sama dengan 2 kali ini ya sudah bisa jabarkan jadi seperti ini Al kuadratnya di keluarkan Tapi sebelumnya di sini kita mau pecah jadi seperti ini l ^ 3 + 2 kita pecah ya jadi seperti ini yaitu adalah ditambahkan dengan min 4 kuadrat yang akan kita Tambahkan lagi dengan 6 r kuadrat kurangi 96 tujuannyakarena ini ketika dihitung menjadi 2 l kuadrat maka sekarang kita lanjutkan ya untuk menjadi 0 = 20 ini adalah l ^ 3 nya kita kita suratnya ya di sini menjadi l Min 4 di sini akan kita tambahkan dengan 6 ini akan menjadi l kuadrat yang akan sama-sama kita kurangi dengan 16 seperti ini ya bentuknya makanan akan sama dengan 2 lalu ini Al kuadrat di kalikan dengan l Min 4 hari ini ditambahkan dengan ini kita jabarkan 3 kita punya aquadrat min b kuadrat menjadi a + b dan a min b ya, maka dari itu ini namanya dituliskan lalu ini + 4 dan l Min 4 seperti ini maka dari itu sekarang kita bisa tuliskan dia bahwa 0 di sini akan sama dengan nilai daridi sini ya kita keluarkan duanya sudah dikeluarkan kita keluarkan elemen tempatnya sekarang seperti ini maka ini menjadi r kuadrat + 6 hari ini L4 Ya seperti ini kita kali masuk 0 akan sama dengan dua kali ini tetap 4 Ya halo ini menjadi kuadrat + 6 l + 2 per Tini kita cari di sini semua pembuat nol nya ya kita bagi dua dulu semuanya menjadi 0 = Min 4 dan juga l kuadrat + 6 l + 2, maka yang pertama di sini faktornya kita cari pembuat nol nya l Min 4 sama dengan nol di mana di sini nilai l nya adalah 4 dan untuk ini di kertas berikutnya kita mau cari Faktor dari x kuadrat + 60 + 24 kita cari dengan deskriminan dulu ya kita ketahui ketika diskriminannya lebih kecil dari nol maka kita ketahui bahwa akarRel ya atau akarnya di sini imajiner, maka dari itu sekarang kita bisa sama-sama langsung untuk Tuliskan menjadi seperti ini gimana untuk Adek di sini adalah bentuk dari b kuadrat min 4 Aceh dengan di sini persamaan kuadratnya adalah 0 yang = AX kuadrat + BX + C maka kita cek langsung di sini bb-nya 66 kuadrat dikurangi 4 x 1 x 24 di mana ini adalah diskriminannya diskriminannya menjadi 36 dikurangi dengan isinya adalah 96 ya diskriminannya - 60 ternyata benar ya ini akar imajiner maka kita hanya punya satu akarnya yaitu adalah disini = 4, b. Mencari panjang dan tingginya tadi untuk panjangnya ya diketahui adalah disini panjangnya 2 kali lebar ya panjangnya 2 lAda duit untuk panjangnya menjadi 2 kali tempatnya di mana panjangnya kita temukan 8 lalu juga informasi tadi bahwa tingginya di sini tingginya adalah nilai dari lebarnya ya maka dari itu ini 12 l maka sekarang untuk tingginya menjadi 2 ditambah 4 ya. Tingginya disini menjadi adalah 6 dari luas di mana untuk luas permukaan nya akan menjadi 2 panjang lebar ditambahkan dengan 2 lebar tinggi di sini ditambahkan dengan 2 panjang tinggi maka untuk luas permukaan nya menjadi 2 panjangnya adalah 8 lebarnya 4 ditambahkan 2 lebarnya 4 tingginya 6 + 2 panjangnya 8 tingginya 6 nya Maka luas permukaannya menjadi di sini ya nilai dari 8 * 8604 + kan ini ya 24 * 248 ditambahkan di sini 48 * 2 ya 96, maka untuk luas permukaan nya di sini akan menjadi nilai dari 208 jangan lupa satuannya cm kuadrat Ya seperti ini dalam pilihan ganda opsi jawab terakhir atau terima kasih dan sampai jumpa di soal nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul

V = 20 x 10 x 6 = 1.200 cm³. L = 2 (p x l + p x t + l x t) L = 2 (20 x 10 + 20 x 6 + 10 x 6) L = 760 cm². Jadi, volume kotak pensil adik 1.200 cm³, dan luas permukaannya 760 cm². Itulah Soal Bangun Ruang Balok plus Kunci Jawaban yang terdiri dari soal volume balok, soal luas seluruh permukaan balok dan soal keliling balok. Semoga bermanfaat.

Soal 1 Sebuah pesawat antariksa memiliki panjang 6,5 m ketika diukur dalam keadaan diam di Bumi. Berapakah kelajuan pesawat tersebut ketika panjang pesawat menurut pengamat di Bumi adalah 2,5 m? nyatakan dalam c! Jawab Diketahui panjang sejati pesawat L0 = 6,5 m dan penyusutan panjangnya L = 2,5 m, maka kecepatan pesawat adalah L = L0[1 – v/c2]1/2 2,5 = 6,5[1 – v/c2]1/2 5/13 = [1 – v/c2]1/2 25/169 = 1 – v/c2 v/c2 = 144/169 v = 12c/13 Jadi, kecepatan pesawat 12c/13! Soal 2 Sebuah pesawat antariksa yang sedang bergerak dengan kelajuan 1,5 × 108 m/s memiliki panjang 10 m ketika diukur oleh pengamat yang diam di Bumi. Berapakah panjang pesawat tersebut jika dalam keadaan diam di Bumi diukur oleh pengamat di Bumi? Jawab Diketahui Penyusutan panjang pesawat L = 10 m, kecepatan pesawat v = 1,5 x 108 m/s = c/2, maka panjang pesawat dalam keadaan diam menurut pengamat di Bumi adalah L = L0[1 – v/c2]1/2 10 = L0[1 – 0,5c/c2]1/2 100 = L020,75 L02 = 100/0,75 = 400/3 L0 = 11,55 m Soal 3 Sebuah persegi yang luasnya 100 cm2 diam dalam kerangka acuan pengamat O. Pengamat O’ bergerak relatif terhadap O dengan laju 0,6c sejajar terhadap salah satu rusuk persegi. Berapakah keliling dan luas persegi itu menurut pengamat O’? Jawab Luas sejati A0 = 100 cm2, Panjang rusuk sejati, L0 = A01/2 = 10 cm Kecepatan O’ = 0,6v Lihat gambar. Karena pengamat O’ bergerak sejajar dengan rusuk AB, maka hanya rusuk yang sejajar AB, yaitu AB dan CD yang mengalami penyusutan panjang. Rusuk yang tegak lurus AB, yaitu BC dan AD, tidak mengalami penyusutan panjangnya L0. Panjang rusuk AB dan CD menjadi panjang relativistik L di mana L = L0/γ Dengan γ = [1 – v/c2]-1/2, maka L = L0[1 – v/c2]1/2 = 10 cm[1 – 0,6c/c2]1/2 L = 8 cm Maka keliling persegi menurut pengamat O’ adalah 2L + 2L0 = 2 x 10 cm + 2 x 8 cm = 36 cm Luas persegi menurut pengamat O’ adalah LL0 = 8 cm x 10 cm = 80 cm2 Soal 4 Sebuah pesawat antariksa berbetuk segitiga siku-siku diterbangkan oleh seorang pilot dengan kelajuan 0,96c. Ukuran pesawat ketika berada dalam keadaan diam adalah 50 m x 25 m lihat gambar. Berapakah luas pesawat itu jika diamati oleh seorang pengamat di Bumi ketika pesawat sedang bergerak sepanjang arah seperti pada gambar? Jawab Diketahui Kelajuan peswat v = 0,96c Karena pesawat bergerak sejajar AB, maka hanya panjang AB yang mengalami penyusutan panjang. Pangan AC yang tegak lurus AB tidak mengalami penyusutan. Panjang rusuk AB menjadi panjang relativistik L mengalami penyusutan di mana L = L0/γ = L0[1 – v/c2]1/2 L = 50 m[1 – 0,96c/c2]1/2 = 14 m Luas menurut pengamat di Bumi adalah A = ½ x 14 m x 25 m = 175 m2 Soal 5 Sebuah kotak berbentuk kubus dengan panjang rusuk L1 = L2 = L3 = 20 m, seperti ditunjukkan pada gambar, ketika diamati dalam kerangka acuan yang diam terhadap kotak. Kotak ini kemudian digerakkan sejajar salah satu rusuknya dengan kelajuan 0,60c melewati seorang pengamat. a Apakah bentuk kotak yang diamati oleh seorang pengamat? Dan b berapakah panjang tiap rusuk bila diukur oleh pengamat ini? Jawab Misalkan kotak bergerak sejajar L1, maka hanya rusuk L1 saja yang menyusut. Karena rusuk L1 ada empat maka empat panjang rusuk L1 menjadi panjang relativistik L di mana L = L1/γ L = L1[1 – v/c2]1/2 = 20 cm[1 – 0,6c/c2]1/2 L = 16 cm Panjang tiap-tiap rusuk menjadi L1 menjadi L = 16 cm, L2 = L3 = 20 cm. dan bentuk kotak yang diamati oleh pengamat adalah persegi panjang. Soal 6 Tentukan persentase penyusutan panjang batang yang bergerak dengan kecepatan 0,96c dan membentuk sudut 600 terhadap arah gerak batang! Jawab Batang berada dalam sistem acuan bergerak terhadap batang S’, makaMenurut pengamat S’ L0y = L0 sin 600 = 4,00,5√3 = 2√3 m L0x = L0 cos 600 = 4,00,5 = 2,0 mMenurut pengamat S Ly = L0y = 2√3 m karena arah gerak pada sumbu x Lx = L0X/γ = L0x[1 – v/c2]1/2 = 2,0 m[1 – 0,96c/c2]1/2 Lx = 0,56 m Maka L = [Lx2 + Ly2]1/2 = [0,562 + 2√32]1/2 L = 3,51 m Maka persentase penyusutan batang adalah L = [4 m – 3,51 m/4 m] x 100 = 12,25% 1 - 10 Contoh Soal Momentum dan Impuls dan Jawaban. 1. Terjadi kecelakaan kereta api dimana sebuah gerbong kereta dengan massa 10.000 kg bergerak dengan laju 24 m/s. gerbong tersebut menabrak gerbong lain yang serupa dan dalam keadaan diam. Akibat tabrakan tersebut, gerbong tersambung menjadi satu. Maka, berapakah kecepatan dari gerbong tersebut! BerandaSebuah kotak berbentuk kubus dengan panjang rusuk ...PertanyaanSebuah kotak berbentuk kubus dengan panjang rusuk sejati L 1 = L 2 = L 3 = 2 , 0 m ,seperti ditunjukkan pada gambar, ketika diamati dalam kerangka acuan yang diam terhadap kotak. Kotak ini kemudian digerakkan sejajar salah satu rusuknya dengan kelajuan 0 , 60 c melewati seorang pengamat. Apakah bentuk kotak yang diamati oleh pengamat?Sebuah kotak berbentuk kubus dengan panjang rusuk sejati , seperti ditunjukkan pada gambar, ketika diamati dalam kerangka acuan yang diam terhadap kotak. Kotak ini kemudian digerakkan sejajar salah satu rusuknya dengan kelajuan melewati seorang pengamat. Apakah bentuk kotak yang diamati oleh pengamat? ... ... PembahasanKarena yang mengalami panjang relativistik adalah yang sejajar dengan arah kecepatan dan hanya satu rusuk saja. Bentuk kubus akan tampak seperti balok karena satu rusuknya yang mengalami panjang relativistik adalah yang sejajar dengan arah kecepatan dan hanya satu rusuk saja. Bentuk kubus akan tampak seperti balok karena satu rusuknya pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!86Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!©2023 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia jw2Dg8r. 438 422 280 184 132 384 278 111 154

sebuah kotak panjangnya 1 1 2